设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求

设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[12，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立等价于g（x）max-g（x）min≥M
∵g（x）=x3-x2-3，∴g′(x)＝3x(x?
2
3 )
∴g（x）在（0，
2
3 ）上单调递减，在（
2
3 ，2）上单调递增
∴g（x）min=g（
2
3 ）=-
85
27 ，g（x）max=g（2）=1
∴g（x）max-g（x）min=
112
27
∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[
1
2 ，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．
由（I）知，在[
1
2 ，2]上，g（x）max=g（2）=1
∴在[
1
2 ，2]上，f（x）=
a
x +xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x2lnx恒成立
记h（x）=x-x2lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴当
1
2 ＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（
1
2 ，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1
∴a≥1

（1）f′(x)＝3x(x? 2 3 )，x∈[0，2]，令f'（x）=0得x1＝0，x2＝ 2 3 ，…（2分） 当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下： x 0 (0， 2 3 ) 2 3 ( 2 3 ，2) 2 f'（x） - 0 + f（x） -3 单调递减 极小值 单调递增 1 可得，[f（x）]max=1，[f(x)]min＝f( 2 3 )＝? 85 27 ．…（5分） 要使存在x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）-f（x2）≥m，只需m≤[f(x)]max?[f(x)]min＝ 112 27 ，故整数m的最大值为4．…（7分） （2）由（1）知，在[ 1 2 ，2]上，[f（x）]max=f（2）=1，要满足对任意的s，t∈[ 1 2 ，2]，都有f（t）≤g（s），只需g（x）≥1在[ 1 2 ，2]上恒成立，…（9分） 即 a x +xlnx≥1在[ 1 2 ，2]上恒成立，分离参数可得：a≥x-x2lnx， 令h（x）=x-x2lnx，h'（x）=1-x-2xlnx，可知，当x∈[ 1 2 ，1)，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x∈（1，2]，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…（12分） 所以h（x）在x=1处取得最大值h（1）=1， 所以a的取值范围是a≥1．…（13分）