已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意的x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)。且对任意x大于0，都有f（x）＜0，f（3）=-3.证明y=f（x）是R上的减函数；证明f（-x）+f（x）=0

已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意的x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)。且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3.

证明y=f（x）是R上的减函数；

证明f（-x）+f（x）=0

令X=Y,可得到f(2x)=2f(x),然后令X=3,得到f(2*3)=2f(3)=-6,f(6)<f(3)所以是减函数 。再另x=x,y=-x,代入算就好了。

令y=0，那么

f(x+y)=f(x)=f(x)+f(0)

所以f(0)=0

令x=-y

那么f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x)=0

令y>0

那么

x+y>x

所以f(x+y)=f(x)+f(y)

因为对任意x＞0，都有f（x）＜0

所以f(x+y)=f(x)+f(y)<f(x)

所以递减

望采纳~

应该先证明f（x）是奇函数，因为用定义法证明单调性时会用到 因为f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),可知f(0)=0. 那么f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x), 即f(x)是奇函数。 证明减函数： 设x2>x1, 那么x2-x1>0, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1) 根据条件“对任意x大于0，都有f(x）小于0”可知 f(x2-x1)<0, 从而f(x2)<f(x1) 希望能帮到你 O(∩_∩)O~