一道高难度奥数题求解

一道高难度奥数题求解

设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）。再设共发牌n轮（每轮发3张）。记作x＋y＋z=S.
n·S=13＋15＋23=51
由于n和S都是整数，51=3×17，只有n=3，S=17。现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下：
x＋y＋z=17
求整数解。
由于x、y、z均为整数，其最大整数x＞，即x≥6。X可能值为6、7、8、9。
第一种情况，x=6＞y＞z，而y＋z=17－6=11，而此时y＋z最多为5＋4，所以x≠6。
第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17－7=10，只有y=6，z=4。但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可以重复的，下同）数之和。
所以，第二种情况x=7亦被排除。
第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z=17－8=9，(y , z)可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。
而13（甲三次牌数字之）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。
第四种情况，x=9＞y＞z，y+z=17－9=8，观察知y=5, z=3.
（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝）
综上所述，三张牌为3、5、9。

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三元一次方程就能解决

这三张牌分别时3、5、9。

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13+15+23=51=17*3
17和3都是质数，所以这三张牌的和是17，反复了3次。
17=9+7+1=9+6+2=9+5+3=8+7+2=8+6+3=8+5+4=7+6+4
其中，只有9，5，3满足条件：
9+9+5=23，5+5+3=13，9+3+3=15。
所以这三张牌上的数字是9，5，3。