已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），离心率为32，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），离心率为32，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求过点（1，0）且斜率为12的线l被C所截线段的中点坐标．

（ I）∵△F2MN的周长为8，即|MN|+|MF2|+|NF2|=4a=8，
∴a=2；------（2分）
又∵e=
c
a =




3
2 ，∴c=




3
2 a=



3 ；…4分
∴b2=a2-c2=1；…5分
∴椭圆C的方程为
x2
4 +y2＝1；------（6分）
（ II）∵过点（1，0）且斜率为
1
2 的直线l的方程为
y＝
1
2 (x?1)，-------（7分）
∴直线方程与椭圆方程







y＝
1
2 (x?1)

x2
4 +y2＝1 联立，
消去y得，2x2-2x-3=0；-------（9分）
设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则 x1+x2=1；------（10分）
∴线段AB的中点为P(
x1+x2
2 ，
y1+y2
2 )，即
x1+x2
2 ＝
1
2 ；------（11分）
又∵P在直线l上，∴
y1+y2
2 =
1
2 ×（
1
2 -1）=-
1
4 ；
∴P点的坐标为(
1
2 ，?
1
4 )．-------（12分）

（i）由题意知，4a=8，所以a=2． 因为e＝ 1 2 ， 所以 b2 a2 ＝ a2?c2 a2 ＝1?e2＝ 3 4 ， 所以b2=3． 所以椭圆c的方程为 x2 4 + y2 3 ＝1． （ii）由题意，当直线ab的斜率不存在，此时可设a（x0，x0），b（x0，-x0）． 又a，b两点在椭圆c上， 所以 x02 4 + x02 3 ＝1，x02＝ 12 7 ． 所以点o到直线ab的距离d＝ 12 7 ＝ 2 21 7 ． 当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为y=kx+m． 由 y＝kx+m x2 4 + y2 3 ＝1 消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0． 由已知△＞0，设a（x1，y1），b（x2，y2）． 所以x1+x2＝? 8km 3+4k2 ，x1x2＝ 4m2?12 3+4k2 ． 因为oa⊥ob，所以x1x2+y1y2=0． 所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2＝0． 所以(k2+1) 4m2?12 3+4k2 ? 8k2m2 3+4k2 +m2＝0． 整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0． 所以点o到直线ab的距离d＝ |m| k2+1 ＝ 12 7 ＝ 2 21 7 为定值．