存在在无理数点上不连续，在有理数点上连续的实函数吗

请说明理由

这是个经典问题，结论是不可能。我正好想过这个问题，所以积累了一些资料:-)和LZ分享一下~~

如果学过实变函数的话，理解起来会简单一些。给LZ一本参考书：周民强《实变函数论》，北京大学出版社。此书第一章1.5节中“Borel集”一节的例11和例13合起来可以证明此结论。前者说开集上函数的连续点集为Gδ型集，后者说有理数集不是Gδ型集(其实可数集都不是Gδ型集)，二者结合即可。另外，用Baire纲定理也可以证。

初等一些的方法也有(当然实数连续性是必然要用的)，不过过程较长。比如可以用Baire纲定理证明的思想来证此题。给LZ贴个参考资料吧~其中的例2就是LZ的这个问题，那里给了比较初等的证明(第3页到第4页)。

不存在。 因为按照连续性的定义，在X趋于有理点的过程中，如果以无理点序列的方式趋向于那点，则得不到极限。

设q：n→q q（n）=r ，r∈q。 设g：q→q g（q（n））=2*-n 。 设f：r→q f（x）=∑ g（r），r＜x ，r∈q。 那么上面定义的函数f，就是定义在实数集上，在有理数点间断，在无理数点连续的函数