求动点轨迹方程的主要方法是什么？

求动点轨迹方程的主要方法是什么？

动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，

则有 ，

即 ，

．

整理得，这就是动点M的轨迹方程．

若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；

若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆．

二、代入法

若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 （1986年全国）已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

解：设，由题设，P分线段AB的比，

∴

解得.

又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，

∴

整理得点P的轨迹方程为

其轨迹为抛物线．

三、定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．

例3 （1986年广东）若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是

（A）

（B）

（C）

（D）

解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B）．

例4 （1993年全国）一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为

（A）抛物线 （B）圆

（C）双曲线的一支 （D）椭圆

解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有

动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．

四、参数法

若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．

例5 （1994年上海）设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．

（A）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

解：（1）设所求椭圆方程为

由题意得

解得

所以椭圆方程为

．

(2)设点解方程组

得

由和得

其中t＞1．

消去t，得点P轨迹方程为

和．

其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．

五、交轨法

一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．

例6 （1985年全国）已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则

PA：

QB：

消去t，得

当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是

以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．

常用的方法有直接法，定义法，代入法，参数法等