代数几何的综合题目（八年级）

5.已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=9的一根x₁=0，a的值为代数式3y²+12y+18的最值。菱形ABCD的边长是方程的另一根x₂，且两相邻内角之比为2：1，若菱形的面积为36√3，试求方程ax²+bx+c=9中b的值。

解：

∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c=9的一根x₁=0

∴c=9

∵3y²+12y+18=3（y+2）²+6，且a的值为代数式3y²+12y+18的最值

∴a=6

∵四边形ABCD为菱形，且两相邻内角之比为2：1

∴S_菱形ABCD= （x₂²√3）/2=36√3

∴x₂=6√3

∵x₂＞x₁

∴x₂=（－b+√△）/2a

代入数值，解得：b=36√2

∵x的一元二次方程ax²+bx+c=9的一根x₁=0

∴把x代入的c=9;

又∵a的值为代数式3y²+12y+18的最值

而3y²+12y+18=3(y+2)²+6

∴当y=-2时取得最小值，即a=6

又∵菱形ABCD的边长是方程的另一根x₂，且两相邻内角之比为2：1

∴设相邻两角为α、β，则α/β=2,又α+β=180°

∴α=120°，β=60°；

若菱形的面积为36√3，则2*(1/2)*x₂*(√3x₂/2)=36√3

解得x₂=6√2,

由韦达定理得x1+x2=0+6√2=-b/a

∴b=-36√2