关于三角形的定义

包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义、性质、判定

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1. 三角不等式：

三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。

三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

1. 勾股定理(毕氏定理)及其逆定理：

设三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c，则$ a^2+b^2=c^2 $等价于角C=90°。

1. 正弦定理（R为三角形外接圆半径）：

$ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=2R $

1. 余弦定理：

$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos (\alpha) $

$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos (\beta) $

$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos (\gamma) $

[编辑] 2.2 角度

三角形两只内角之和，等于剩下的一只的外角。

在欧几里德平面内，三角形的内角和等于180°。
[编辑] 3 分类

[编辑] 3.1 锐角、钝角三角形

钝角三角形是其中一角为钝角（大于90°）的三角形，其余两角均小于90°。

锐角三角形的所有内角均为锐角（小于90°）。
[编辑] 3.2 直角三角形

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。 成直角的两条边称为直角边，直角所对的边是斜边（hypotenuse）；或最长的边称为弦，，底部的一边称作勾（又作句），另一边称为股。

可以透过不同角度的直角三角形各边的比求得锐角三角函数。
[编辑] 3.3 等边三角形

等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是a，则其面积公式为$ \frac{\sqrt 3}{4}a^2 $。

等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个等边三角形可以拼成一个正六边形。
[编辑] 3.4 等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为腰，而另一条边被称为底边，两条腰交叉组成的那个点被称为顶点，它们组成的角被称为顶角。等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。

等腰三角形的底的垂直平分线，刚好又是对应角的角平分线，同时又是

等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式。

等腰直角三角形只有一种形状，其中两个角为45度。

等腰直角三角形只有一种形状，其中两个角为45度。
[编辑] 3.5 退化三角形

面积为零的三角形。
[编辑] 4 特性

三角形是具有稳定性：当三角形的三边确定后，它的形状、大小就不会改变。
[编辑] 5 面积
[编辑] 5.1 已知两边及其夹角

设a、b为所知的两边，C为该夹角，三角形面积为$ \frac{1}{2} $ab sin C。
[编辑] 5.2 已知底和高

$ \frac{1}{2} $底x高。因为两个相同的三角形叠合可成平行四边形。
[编辑] 6 参考文献
[编辑] 6.1 已知三边长

希罗公式： 设p等于三角形三边和的一半：

$ p=\frac{a+b+c}{2} $

则

$ S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)} $

化简后就是：

$ S = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)} $

秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：

$ \sqrt{\frac{1}{4} {(c^2a^2-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}} $

基于希罗公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设a ≥ b ≥ c，三角形面积为$ \frac{1}{4} \sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))} $
[编辑] 7 其他三角形有关的定理

* 拿破仑三角形
* 费马点
* 欧拉线
* 梅涅劳斯定理

[编辑] 8 三角形的五心

名称


定义


图示


备注

内心


三个内角的角平分线的交点




三角形内接圆的圆心

外心


三条边的垂直平分线的交点




三角形外接圆的圆心

垂心


三条高的交点






重心


三条中线的交点




被交点划分的线段比例为1:2 (靠近角的一段较长)

旁心


外角的角平分线的交点




有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心

垂心（蓝）、重心（黄）和外心（绿）能连成一线，称为欧拉线。

楼上辛苦了