在三角形ABC中,∠C=90°,bc=ca,bd是∠abc的角平分线,ae⊥bd,垂足为点e。求证:bd=2ae

在三角形ABC中,∠C=90°,bc=ca,bd是∠abc的角平分线,ae⊥bd,垂足为点e。求证:bd=2ae

首先 延长AE与BC交与一点M
则△AEB≌△BME
得出 AE=EM
所以 AM=2AE

因为 ∠M+∠MBE=90°
∠M+∠MAC=90°
所以 ∠MBE=∠MAC
∠ACB=∠ACM=90°
又因为 AC=BC
△ACM≌△BcD
所以 AM=BD
得证 BD=2AE

延长ae与bc的延长线交于f， ∵∠abe=∠ebf,be⊥af ∴ab=bf,ae=ef ∴af=2ae ∵∠ead+∠ade=90°,∠cbd+∠bdc=90°,∠ade=∠bdc ∴∠ead=∠cbd 又∵ac=bc,∠acb=∠acf=90° ∴△bcd≌△acf ∴bd=af ∴bd=2ae