三角形其面积与周长相等问题如边长5,12,13的三角形的面积与周长均为30,那么还存在其它的三角形其

三角形其面积与周长相等问题如边长5,12,13的三角形的面积与周长均为30,那么还存在其它的三角形其

1)【面积与周长相等的三角形有无穷多.】设：不妨设三角形三边长为： a=5+2x 、b=12+2y 、c=13+2z ,则此三角形半周长为： p=15+x+y+z ；周长=2p ； 面积=√（p(p-a)(p-b)(p-c)）此命题即考虑下述三元方程的4p^2=p(p-a)(p-b)(p-c)4p-(p-a)(p-b)(p-c) = 0即：F(x,y,z)=60+4(x+y+z)-(10-x+y+z)(3+x-y+z)(2+x+y-z) = 0已知 F(0,0,0)=0 ,但 【没办法!想不到初等方法了,只好用下微积分】δF/δx (0,0,0) = 4+6-20-30 =-40 ≠ 0则在(0,0,0)点的某个领域 U 内,存在 F(x,y,z)=0 的关于 x 的隐函数：x=g(x,y)【即面积与周长相等的三角形有无穷多.δF/δx 表示F对x的偏导数,晕!大体这个想法就是把给定的三角形形状稍稍变动下依然可以满足条件： 周长=面积 .我琢磨这个应该能理解吧!】2) 【如三角形边长都是整数,那么这样的直角三角形有且仅有两个】【这下轻松多了】设：不妨设这样的直角三角形三边长为： a ≤ b 则：周长=(a+b+c) ； 面积=ab/2令：2(a+b+c)=ab则：6a 由：c得：2(a+b+c)=ab当 a≤7 时全体勾股数为：[3,4,5],[5,12,13],[6,8,10],[7,24,25]则满足条件的三角形仅有两组：[5,12,13],[6,8,10] .======以下答案可供参考======供参考答案1:这样的三角形不存在.证明:以边长为5的一条边作三角形的高,因为面积是30,所以高是12,作出高后得到两直角三角形,直角三角形的斜边和直角边都是12是不可能的,直角边都比斜边要短!以此反推这样的三角形根本不存在.这样的直角三角形有一个.即边长为6、8、10的三角形（用尝试法可得）。

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