高中平面向量 數學題數學題。

设V是已知平面M上所有向量的集合,对于映射f:V→V,a向量∈V,记a向量的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a向量,b向量∈V及任意实数λ,μ都有f(λa向量+μb向量)=λf(a向量)+μf(b向量),則f称为平面M上的线性变换。求证:

(1)对a向量∈V设f(a向量)=2a向量,则f是平面M上的线性变换;

(2)设f是平面M上的线性变换,a向量,b向量∈V,若a向量,b向量共线,则f(a向量),f(b向量)也共线。

 

 

请高手解答。若过程齐全且符合高中实际。可采纳为精华答案。 谢谢。

    加粗的是向量

（1）∵f(a)=2a 

    ∴f(λa+μb)=2［λf(a)+μf(b)］=2λf(a)+2μf(b)

    f(λa）=2λa，f(μb)=2μf(b）

    ∴f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)

    ∴f是平面M上的线性变换

（2）a向量,b向量共线

    ∴可设a=ηb    （η为常数）

    ∴f(a+a)=f(a+ηb)=f(a）+ηf(b)

    又∵f(a+a)=f(a)+f(a)

    ∴f(a)=ηf(b)

    ∴f(a),f(b)也共线

(1)因为f(a向量)=2a向量所以f(b向量)=2b向量，即f(x向量)=2x向量，所以f(λa向量+μb向量)=2*(λa向量+μb向量)。又因为λf(a向量)+μf(b向量)=2λa向量+2μb向量所以f是平面M上的线性变换(2)因为a向量,b向量共线，所以a向量=x1b向量,所以f(λa向量+μb向量)=2b向量（λx1+μ）又因为λf(a向量)+μf(b向量)=2λx1b向量+2μb向量=2b向量（λx1+μ），所以成立