已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R的定义域为[-1，1]．（1）记|f(x)|的最大值为M，求证：M≥12.（2）求出（1）
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解决时间 2021-04-06 09:06
- 提问者网友：刺鸟
- 2021-04-05 13:24
已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R的定义域为[-1，1]．（1）记|f(x)|的最大值为M，求证：M≥12.（2）求出（1）中的M＝12时，f(x)的表达式．
最佳答案
- 五星知识达人网友：詩光轨車
- 2021-04-05 14:11
（1）f（x）=x2+ax+b
M≥|f（0）|=|b|
M≥|f（1）|=|1+a+b|
M≥|f（-1）|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|（-2b）+（1+a+b）+（1-a+b）|=2
M≥
1
2
[-b，1+a+b，1-a+b同号时取等号]
（2）I．若-b，1+a+b，1-a+b均≥0，M=
1
2 ，则：
1+a+b≤
1
2 …①
1-a+b≤
1
2 …②
-b≤
1
2 …③
①+②：2+2b≤1，b≤-
1
2
③：b≥-
1
2
∴b=-
1
2
代回①：a≤0，②：a≥0
∴a=0
f（x）=x2-
1
2
II．若-b，1+a+b，1-a+b均＜0，M=
1
2 ，则：
0＞1+a+b≥-
1
2 …①
0＞1-a+b≥-
1
2 …②
0＞-b≥-
1
2 …③
①+③：0＞1+a≥-1，-2≤a＜-1
②+③：0＞1-a≥-1，1＜a≤2
无解
综上：f（x）=x2-
1
2
M≥|f（0）|=|b|
M≥|f（1）|=|1+a+b|
M≥|f（-1）|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|（-2b）+（1+a+b）+（1-a+b）|=2
M≥
1
2
[-b，1+a+b，1-a+b同号时取等号]
（2）I．若-b，1+a+b，1-a+b均≥0，M=
1
2 ，则：
1+a+b≤
1
2 …①
1-a+b≤
1
2 …②
-b≤
1
2 …③
①+②：2+2b≤1，b≤-
1
2
③：b≥-
1
2
∴b=-
1
2
代回①：a≤0，②：a≥0
∴a=0
f（x）=x2-
1
2
II．若-b，1+a+b，1-a+b均＜0，M=
1
2 ，则：
0＞1+a+b≥-
1
2 …①
0＞1-a+b≥-
1
2 …②
0＞-b≥-
1
2 …③
①+③：0＞1+a≥-1，-2≤a＜-1
②+③：0＞1-a≥-1，1＜a≤2
无解
综上：f（x）=x2-
1
2
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- 1楼网友：duile
- 2021-04-05 14:45
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