求级数(sin2n)/(n^2)的敛散性 具体步骤谢谢

求级数(sin2n)/(n^2)的敛散性 具体步骤谢谢

数项级数∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)为一般项级数
先证部分和数列{∑(k=1,n) sin2k}有界
(-2*sin1)*∑(k=1,n) sin2k=∑(k=1,n)(cos(2k+1)-cos(2k-1)) （和差化积）
=cos(2n+1)-cos1
因此| ∑(k=1,n) sin2k |=| ( cos(2n+1)-cos1 )/(-2*sin1) |
≤2/|2sin1|
=1/|sin1|
|∑(k=1,n) sin2k|≤ 1/| sin1 |，有界得证
又有1/n^2关于n单调递减趋于0
故根据Dirichlet判别法得：
∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)收敛
这只是判断是收敛还是发散

但其实判断可以再深入一点，而且比上面的方法更简单
∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)为一般项级数
先判断是否绝对收敛：
∑(n=1,∞) | (sin2n)/(n^2) |为正项级数
同时注意到：| (sin2n)/(n^2) |≤|1/n^2 |=1/n^2
又因为∑(n=1,∞) 1/n^2收敛
因此∑(n=1,∞) | (sin2n)/(n^2) |也收敛
那么，∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)绝对收敛，当然有∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)收敛
有不懂欢迎追问