高中三角函数应用题

在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处。到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。

（1）该船的航行速度是每小时多少千米？

（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？

解（1）在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB=√ 3（千米）

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=√ 3/3（千米）

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

则BC=√ (AB)^2+(AC)^2=√ (√ 3/3)^2+(√ 3)^2=√ 30/3

(√ 30/3)/(1/6)=2√ 30（千米/时）

（2）∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=AB/BC=√ 3/√ 30/3=3√ 10/10

sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°=(3√ 3-1)√ 10/20

在△ACD中，据正弦定理得，AD/sinDCA=AC/sinCDA

∴AD=ACsinCDA/sinDCA=(9+√ 3)/13

答：此时船距岛A为(9+√ 3)/13千米．