如图，AD是三角形ABC的中线，试说明AB的平方加AC的平方等于的平方加CD的
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解决时间 2021-11-12 14:29
- 提问者网友：爱了却不能说
- 2021-11-11 23:13
如图，AD是三角形ABC的中线，试说明AB的平方加AC的平方等于的平方加CD的
最佳答案
- 五星知识达人网友：轮獄道
- 2021-11-12 00:31
证明：过点A作AE垂直BC于E
所以角AEB=角AEC=90度
所以三角形AEB，三角形AED和三角形AEC是直角三角形
所以AB^2=AE^2+BE^2
AD^2=AE^2+DE^2
AC^2=AE^2+CE^2
所以AB^2+AC^2=2AE^2+BE^2+CE^2=2(AD^2-DE^2)+BE^2+CE^2
因为AD是三角形ABC的中线
所以BD=CD
因为BE=BD+DE
CE=CD-DE
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DE^2+(CD+DE)^2+(CD-CD)^2
AB^2+AC^2=2AD^2-2DE^2+2CD^2+2DE^2=2(AD^2+DE^2)
所以AB^2+AC^2=2(AD^2+CD^2)
所以角AEB=角AEC=90度
所以三角形AEB，三角形AED和三角形AEC是直角三角形
所以AB^2=AE^2+BE^2
AD^2=AE^2+DE^2
AC^2=AE^2+CE^2
所以AB^2+AC^2=2AE^2+BE^2+CE^2=2(AD^2-DE^2)+BE^2+CE^2
因为AD是三角形ABC的中线
所以BD=CD
因为BE=BD+DE
CE=CD-DE
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DE^2+(CD+DE)^2+(CD-CD)^2
AB^2+AC^2=2AD^2-2DE^2+2CD^2+2DE^2=2(AD^2+DE^2)
所以AB^2+AC^2=2(AD^2+CD^2)
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