高等数学 极限定义

数列极限的定义：设{xn}为一个数列，A为一个给定实数。如果对于任意给定的正数e，都存在正整数N，使得当n>N时，就有|xn-A|<e，则称数列{xn}以A为极限，或{xn}收敛于A。

例：设{xn}为一常数数列，即对任何正整数n，都有xn=C，C为常数，则limxn=C，n->正无穷。

证明：对任意给定的正数e，都有|xn-C|=0<e，对任意n>=1.由极限定义，limxn=C，n->正无穷。

f（x）是定义在（a，b）上的函数，x0是（a，b）中的一点，如果对于任意q>0,存在p>0和一个常数A,

当Ix-x0I<p时，If（x）-AI<q 我们就定义f（x）在x0有极限A

例题 f（x）=2x是定义在（-∞,+∞）上的函数，1是（-∞,+∞）中的一点，对于任意q>0，存在一个常数A=2

要使If（x）-AI<q,即I2x-2I<q，Ix-x0I=Ix-1I<q/2 取p=q/2 即可

因为对于任意q>0，存在p=q/2 >0 和一个常数A=2 当Ix-x0I=Ix-1I<p=q/2 时，

If（x）-AI=I2x-2I=2Ix-x0I=2Ix-1I<2 q/2 =q

所以 f（x）=2x在1点有极限而且极限为2