解答题设a1，a2，a3，…，an（n∈N*）都是正数，且a1a2a3?…an=1，试

解答题 设a1，a2，a3，…，an（n∈N*）都是正数，且a1a2a3?…an=1，试用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+an≥n．

证明：①当n=1时，不等式成立
②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3?…?ak=1
若a1，a2，a3，…，ak相同，则都为1，不等式得证
若a1，a2，a3，…，ak不全相同，则a1，a2，a3，…，ak的最大数和最小数不是同一个数
不妨令a1为a1，a2，a3，…，ak的最大数，a2为a1，a2，a3，…，ak的最小数．
则∵a1a2a3?…?ak=1，∴最大数a1≥1，最小数a2≤1
现将a1a2看成一个数，利用归纳假设，有a1a2+a3+…+ak≥k-1…（1）
由于a1≥1，a2≤1，所以（a1-1）（a2-1）≤0
所以a1a2≤a1+a2-1…（2）
将（2）代入（1），得
（a1+a2-1）+a3+…+ak≥k-1，即a1+a2+a3+…+ak≥k
∴当n=k时，结论正确
综上可知，a1+a2+a3+…+an≥n．解析分析：先证n=1时，不等式成立，假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3?…?ak=1，分类讨论，利用假设，即可得到结论．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法的证题 步骤是关键．

收益了