怎样理解拓扑的基的概念

怎样理解拓扑的基的概念

这两个概念是具有本质区别但同时具有微妙的联系。
首先，它们都是集族，这毋庸置疑。区别当然是定义的区别。从不太严密的角度说，拓扑基是 拓扑空间X的一个较小的族。这样对刻画拓扑产生极大的便利。（不必用开集族来刻画了）
然后，讨论它们的更为复杂的关系。对于拓扑可由拓扑基生成，同时拓扑基也可确定一个拓扑。
另外，拓扑子基也可生成一个拓扑。
由拓扑基的定义就引出了“由拓扑基生成的拓扑”这一概念，这同时是拓扑基确定拓扑的第一
个方法。第二种方法就是通过拓扑基中的基元素取并来产生开集。
完成了拓扑基确定拓扑之后，就产生了由拓扑来确定拓扑基的问题。James.R.Munkres的《拓扑学》中P61的引理13.2给出了答案：由拓扑确定的拓扑基与“由拓扑基生成的拓扑”的方法类似。
有以上两方面的基础，可以用基作为判定拓扑粗细的一个标准。