线代难题，只允许许用向量组的线性相关性解，其他知识勿答(必不选)，充要，双向均证

线代难题，只允许许用向量组的线性相关性解，其他知识勿答(必不选)，充要，双向均证

将题中等式写成矩阵的形式：
B=AK

其中B是m行×r列矩阵
A是m行×s列矩阵
K是s×r阶矩阵

必要性：
由向量组B线性无关，得知矩阵B列满秩，
即r(B)=r
再由r(B)=r(AK)<=r(A),r(K)

得知
r(K)>=r(B)=r 【1】
另一方面，
K是s×r阶矩阵，显然秩不能超过其列数，即
r(K)<=r【2】
因此由【1】【2】，得知r(K)=r

充分性：
由r(K)=r，得知K是列满秩的
，把K写成列分块矩阵：
B=AK=A(K1,K2,...,Kr)=(AK1,AK2,...,AKr)
由于向量组A是线性无关，则矩阵A列满秩
则AK1,AK2,...,AKr线性无关
即B的列向量组线性无关
也即向量组B线性无关。追问为什么A列满秩可推知AK1...AKr线性无关??