正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是异面直线AC、A1D的公垂线,求证EF平行BD1

正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是异面直线AC、A1D的公垂线,求证EF平行BD1
一定要证明出EF、BD1是共面的,因为它们有可能是异面,单凭ef垂直于ac,和d1b垂直于ac不能说明EF平行BD1

\x0d图文：


?v=1\x0d\x0d辅助作图：取CD中点I,取AD中点H,取A1B1中点G,\x0d连接这三个中点,组成一个面GHI.\x0d则：A1D‖GI；AC‖HI\x0d∵EF是A1D和AC的公垂线\x0d∴也有：EF⊥GI,EF⊥HI\x0d∴EF⊥面GHI\x0d\x0d∵A1D和AC都是正方体的侧面对角线\x0d∴AC⊥BD,AC⊥BB1\x0d∴AC⊥面BDD1B1\x0d∴AC⊥BD1\x0d同理,A1D⊥BD1\x0d\x0d∵A1D‖GI；AC‖HI\x0d∴BD1⊥HI,BD1⊥GI\x0d∴BD1⊥面GHI\x0d\x0d根据：垂直同一个面的2条直线平行\x0d\x0dBD1‖EF\x0d\x0d故得证.