设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得






|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
1
2 ]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2 ，1] ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，
当|u-v|≤1时，有|f（u）-f（v）|≤|u-v|≤1
当|u-v|≤1时，u?v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，则v-u＞1
从而有|f（u）-f（v）|≤|f（u）-f（-1）|+|f（v）-f（1）|≤|u+1|+|v-1|=2-（v-u）＜1
综上可知，对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
假设存在函数f（x）满足条件，则由|f（u）-f（v）|=|u-v|．
u，v∈[
1
2 ，1] 得 |f(
1
2 )-f(1)|=|
1
2 -1|=
1
2
又f（1）=0，所以 |f(
1
2 )|=
1
2 ①
又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
由条件|f（u）-f（v）|＜|u-v|．
u，v∈[0，
1
2 ] 得 |f(
1
2 )|=|f(
1
2 )-f(0)|＜|
1
2 -0|=
1
2
所以 |f(
1
2 )|＜
1
2 ②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．

解： (1)因为对任意的x∈[-1,1] 所以，令u=x,v=1,则由题可知|f(x)-f(1)|≤|x-1| 又因为f(1)=0， 所以|f(x)|≤|x-1| 所以就有x-1≤f(x)≤1-x