M,N分别是正方形ABCD两边AD,DC的中点,CM与BN于P,求PA=AB

M,N分别是正方形ABCD两边AD,DC的中点,CM与BN于P,求PA=AB

假设正方形边长为2,则有:BC=CD=2CN=DM=1角BCN=角CDM=90度得知三角形BCN与三角形CDM全等,因此角CNP,即角CNB=角DMC,且BN=CM因角DMC+角DCM=90度所以角CNP+角NCP(即角DCM)也等于90度可判断角NPC=90度,即BN与CM垂直.因此可以推出三角形CPN与三角形CDM相似,三角形BPC与三角形BCN相似,CN:CM=CP:CD,即1:CM=CP:2即CP=2:CM,而CM=(1+4)的平方根,即根号5,即CP=2/根号5=2/5根号5,为表述方便,表示根号5为K,CP=2/5K在三角形BPC与BCN相似的关系中,同样可以得出:BP:BC=PC:CN,代入BC=2,CN=1得BP=4/5K;同样在三角形CPN与三角形CDM相似的关系中,可得出:PN:NM=CP:CD,代入NM=1,CD=2得PN=1/5K从A点向BP做垂线,交BP于Q点,形成直角三角形AQB,角BAQ与角CBP的两边均互相垂直,所以该两角相等,而角ABQ和角BCP也因两边互相垂直而相等,加上AB=BC,因此直角三角形AQB和直角三角形BPC全等,得BQ=PC=2/5K,线段QP=BP-BQ=4/5K-2/5K=2/5K,至此,直角三角形AQB和AQP中,两直角边相等,可以推出二者全等,即PA=AB.

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