四边形ABCD中，AC,BD交于点E,△ABC是等边三角形，∠ADC=120° 求证：BD平分∠ADC

四边形ABCD中，AC,BD交于点E,△ABC是等边三角形，∠ADC=120° 求证：BD平分∠ADC

如果知道四点共圆的话，直接用四点共圆搞定，以下是非四点共圆的证法。 辅助线大致正确：延长CD，在CD的延长线上截取DF=DA（注意：F不一定在直线BA上） 1，易证三角形ADF是等边三角形，三角形BDA与CFA全等，所以<ADB=<AFC=60 因此BD平分<ADC 2，由于BD平分<ADC，所以AD/DC乏钉催固诎改挫爽旦鲸=AE/EC 由于三角形BDA与CFA全等，所以BD=CF=CD+DF，DF=BD-CD=3CD-CD=2CD 所以AE/EC=AD/DC=DF/DC=2，AE=2CE 3，用的是余弦定理: AF^2+CF^2-2*AF*CF*cos60=AC^2，直接求解AF 由于CF与AF存在比例关系，上述式子是个一元二次方程，可解

（1）∵∠adc=120，∠abc=60 ∴∠adc+∠abc=180 ∴abcd四点共圆 ∴∠dac=∠dbc (同弦所对圆周角相等） （2）以ad为一边，在四边形外侧做等边三角形adf ∵△adf是等边三角形 ∴∠adf=60，而∠adc=120 ∴fdc在一条直线上 ∵△adf是等边三角形 ∴ad=df,cf=cd+df=ad+dc ∵△abc中ab=bc，且∠abc=60 ∴△abc是等边三角形 ∴ab=ac ∵abcd四点共圆 ∴∠acd=∠abd ∵bd平分∠adc ∴∠adb=120/2=60，而∠afd=60 ∴△afd≌△adb ∴db=fc=ad+dc