数学题：已知一个圆锥的内切球的表面积为4派，当该圆锥的体积最小时，它的高为多少

数学题：已知一个圆锥的内切球的表面积为4派，当该圆锥的体积最小时，它的高为多少

你好！
解：轴截面如图。因内切球O的表面积为4π，设其半径为r,则有4πr^2=4π,r=1.
问题就是，如果一个圆锥的内切球半径为1，当圆锥体积最小时，它的高为多少。
设圆锥的底面半径为R,高为H.因Rt△SCB∽Rt△SDO,所以OD/BC=SO/SB,
即1/R=(H-1)/√(H^2+R^2),整理可得:R^2=H/(H-2).
圆锥的体积V=1/3*πR^2*H=1/3*π*[H/(H-2)]*H=(π/3)*[H^2/(H-2)] .
于是有：V==(π/3)*[H^2/(H-2)]，整理为关于H的一元二次方程：πH^2-3VH+6V=0,
其判别式△≥0，9V^2-24πV≥0,可得V≥24π/9,V(min)=24π/9,此时H=4.
代入R^2=H/(H-2)得R=√2.综上所述，当圆锥的体积取得最小值24π/9时，其高为4.
如图：

【希望可以帮到你】

答案是4.
设内切球半径r，则表面积4Pi=4Pi*r^2，故r=1. (1)
设圆锥高h，显然h大于球直径，即h>2.
设底面半径R。设圆锥顶点和球相切点之间的距离是x。
考虑圆锥带内切球的中截面。由勾股定理，我们有
R^2+(R+x)^2=h^2, (2)
x^2+r^2=(h-r)^2. (3)
联立(1)(2)(3), 得到
R^2=h/(h-2). (4)
圆锥体积为V=Pi*R^2*h/3.
由(4)知，体积最小即
R^2*h=h^2/(h-2)
最小。记上式为f(h). 令f'(h)=0，因h>2，所以h=4是f的唯一一个极值点。显然当h接近2或者h接近无穷时，直观可见圆锥体积趋近无穷，所以h=4是使体积最小的高。
答题不易，望采纳