设x、y为正实数，且x+y＝4，求根号（x^2+1）+根号（y^2+4）的最小值.

用勾股定理，初一、二的内容

方法1
∵x+y=4. ∴y=4-x.
∴式子z=√(x²+1)+ √(y²+4)可化为：
Z=√[(x-0) ²+(0+1) ²]+√[(x-4) ²+(0-2) ²]. （0＜x＜4）
易知，这个式子的几何意义是：
X正半轴上的一个动点P(x,0)到两个定点M(0,-1),N(4,2)距离的和，即
Z=|PM|+|PN|.
由“两点之间，直线段最短”可知，
连接两定点M,N。与x正半轴于点P(4/3,0),此时Z的最小值=|MN|=5.

方法2
作矩形ABCD，使AB＝4、BC＝1，延长CB至E，使BE＝2。
在AB上取一点F，使AF＝x、BF＝y。
由勾股定理，有：
DF＝√（AF²＋AD²）＝√（x²＋1）、EF＝√（BF²＋BE²）＝√（y²＋4）。
显然有：DF＋EF≧DE＝√（CD²＋CE²）＝√（4²＋3²）＝5。
∴√（x²＋1）＋√（y²＋4）的最小值是5。

x+y=4y=4-x √（x^2+1）+√（y^2+4） =√(x^2+1^2√[(x-4)^2+2^2] 上式可以看成 点a（x,0)至点b（0，1）和点c（4，2）的距离之和。 在坐标轴上描出b,c点 求上式的最小值即是在x轴上找一点到两点的距离和最小 找出c关于x轴的对称点坐标c'（4，-2） 连接bc’，bc'的距离的数值即是所求，他们与x轴交点即是x的值 bc’=√[(0-4)^2+(1+2)^2]=5 求bc'的方程 k=（0-4)/(1+2)=-4/3 y-0=-4/3*(x-1)y=-4(x-1)/3 与x轴交点为x=1 x+y=4 y=3