求证：X+Y的绝对值=X的绝对值+Y的绝对值的充要条件是XY≥0。

求证：X+Y的绝对值=X的绝对值+Y的绝对值的充要条件是XY≥0。

证明：

（一）充分性：

若|X+Y|=|X|+|Y|
则|X+Y|^2=(|X|+|Y|)^2
即：X^2+Y^2+2XY=|X|^2+|Y|^2+2|X||Y|
∴XY=|X||Y|
∴XY≥0
∴|X+Y|=|X|+|Y|的充分条件是XY≥0

（二）必要性：

若xy≥0
则分为以下几种情况：
（1）当x、y＞0时
│x+y│=x+y=|x│+│y│
（2）当x、y＜0时
│x│=-x │y│=-y
│x+y│=-（x+y）=-x+（-y）=│x│+│y│
（3）当X与Y中有一个为0时，显然有
│x+y│=x+y=|x│+│y│
∴|X+Y|=|X|+|Y|是XY≥0的必要条件

综上：|X+Y|=|X|+|Y|的充要条件是XY≥0


注意：证明充要条件的这类题，一定要分别证明其充分性和必要性。