关于费马点的题目

若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
  (1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为;
  (2)如图5,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′,连结BB′.
  求证:BB′过的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.

1)∵∠APB=120°

∴∠PAB+∠ABP=180°-∠APB=60°

∵∠ABP+∠PBC=∠ABC=60°

∴∠PAB=∠PBC

∵∠PAB=∠PBC,∠APB=∠BPC=120°

∴△PAB∽△PBC

∴PA/PB=PB/PC, PB²=PA×PC=12

∴PB=2√3

2)①连B'P

∵△AB'C是等边三角形

∴∠AB'C=∠ACB'=60°, AC=B'C

∴∠AB'C+∠APC=60°+120°=180°

∴A,B',C,P四点共圆

∴∠APB'=∠ACB'=60°

∴∠BPA+∠APB'=180°, 即B,P,B'三点共线, 即BB'过P

②在PB'上截取PQ=PC

∵∠CPQ=180°-∠BPC=60°

∴△CPQ是等边三角形, PC=CQ,∠PCQ=60°=∠ACB'

∴∠PCA+∠ACQ=∠ACQ+∠QCB'

∴∠PCA=∠QCB'

∵PC=CQ, ∠PCA=∠QCB', AC=CB'

∴△PCA≌△QCB'(SAS)

∴PA=QB'

∵BB'=PB+PQ+QB'

∴BB'=PB+PC+PA