三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC的摄影为O，满足向量OA+向量OB+向量OC=0，A在侧面PBC上的射影H是三角形PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥的体积最大值是？？
答案是36 求过程 给个思路也行
三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC的摄影为O，
答案:1 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-05-19 02:15
- 提问者网友：十年饮冰
- 2021-05-18 10:29
最佳答案
- 五星知识达人网友：独行浪子会拥风
- 2021-05-18 11:38
∵向量OA+向量OB+向量OC=0
∴O为⊿ABC的重心
又A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心
∴PH⊥BC
而PA在侧面PBC上的射影为PH
∴PA⊥BC
又PA在面ABC上的射影为PO
∴AO⊥BC
同理可得CO⊥AB
∴O是△ABC的垂心.
∵⊿ABC的重心与垂心重合
∴⊿ABC为等边三角形
即三棱锥P-ABC为正三棱锥.
设AB=x，则AO=x/√3
∴PO=√(36-x²/3)
∴V=1/3×3x²/4×√(36-x²/3)
故x=6√2时，f(x)取得最大值36.
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