数学分式 知识点归纳与复习

数学分式 知识点归纳与复习

第17课时 《分式》 知识回顾
　　一、目标再现
　　1．切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分．
　　2．能准确、熟练地进行分式的乘除、加减以及混合运算．
　　3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算．
4．明确解分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题．
　二、知识网络

　三、思想方法
1．转化思想
转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法 分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法 同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程 整式方程，从而得到分式方程的解等．
2．建模思想
本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．
3．类比法
本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．
四、考点例析
分式是初中数学的重要内容之一，复习时不但要熟练掌握基本知识，更要把握好本章的考点． 现以中考题为例，归类说明．
考点1：分式的概念和性质
【知识要点】
1．在分式中，如果________则分式无意义；如果________且________不为零时，则分式的值为零．
2、分式的基本性质用字母表示为__ .
3、分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何________个，分式的值不变．
【典题解析】
例1　（1）已知分式 的值是零，那么x的值是（　　）
　　A．-1　　　B．0　　　C．1　　　D．±1
（2）当x________时，分式 没有意义．
例2　下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
　A． B．
　　C． D．
　　考点2：分式的化简与计算
　　【知识要点】
　　1．分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的公因式．
　　2．最简公分母的确定：一是取各分母所有系数的 ；二是取各分母所有字母因式的 的积．
　　3．分式的加减法法则表示为： ______； ________．
　　4．分式的乘除法法则表示为： _______； ________．
　　【典题解析】
　　例3　计算 的结果是________．
　　例4　计算 ．
　　例5　化简 ．
　　考点3：分式条件求值
　　【知识要点】
根据考点2的知识要点，先将分式进行化简，然后代入求值，这是最基本的解题方法． 但是具体问题要具体分析，许多题目若能采取解题技巧，如，整体代入法等，解法会更简明，且不容易出错．
【典题解析】
　　例6　先化简下列代数式，再求值： ，其 中（结果精确到0.01）．
　　解：原式 ．
　　当 时，原式 ．
　例7　先化简代数式： ，然后选取一个使原式有意义的 x的值代入求值．
　　解：原式 ．
　　当x=2时，原式 ．
　　说明：只要选择的数不等于±1即可．
　　考点4：可化为一元一次方程的分式方程
　　【知识要点】
解分式方程的一般步骤是：
①在方程的两边都乘_______，约去分母，化成_______；②解这个_______；③把解得的根代入_______，看结果是不是零，使________为零的根是原方的________,必须舍去．
　　【典题解析】
　　例8　解方程 ．
　　解：原方程变形 ．
　　方程两边都乘以x－3，得
　　2－x=（x－3）＋1．
　　解这个方程，得x=2．
　　检验：当x=2时，x－3=－1．所以x=2是原方程的解．
　　例9　某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格．
　　分析：利用 ，抓住“今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米”便可建立方程求解．
　　解：设该市去年居民用水的价格为x元/立方米，则今年用水价格为（1+25％）x元/立方米．根据题意，得 ．解这个方程，得x=1.8．经检验，x=1.8是原方程的解，则（1+25％）x=2.25（元/立方米）．
　　答：该市今年居民用水的价格为2.25元/立方米．

《分式》 知识回顾
　　一、目标再现
　　1．切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分．
　　2．能准确、熟练地进行分式的乘除、加减以及混合运算．
　　3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算．
4．明确解分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题．
　二、知识网络
　三、思想方法
1．转化思想
转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法 分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法 同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程 整式方程，从而得到分式方程的解等．
2．建模思想\x09
本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．
3．类比法
本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．
四、考点例析
分式是初中数学的重要内容之一，复习时不但要熟练掌握基本知识，更要把握好本章的考点． 现以中考题为例，归类说明．
考点1：分式的概念和性质
【知识要点】
1．在分式中，如果________则分式无意义；如果________且________不为零时，则分式的值为零．
2、分式的基本性质用字母表示为__ .
3、分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何________个，分式的值不变．
【典题解析】
例1　（1）已知分式 的值是零，那么x的值是（　　）
　　A．-1　　　B．0　　　C．1　　　D．±1
（2）当x________时，分式 没有意义．
例2　下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
　A． \x09\x09\x09B．
　　C． \x09\x09\x09 D．
　　考点2：分式的化简与计算
　　【知识要点】
　　1．分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的公因式．
　　2．最简公分母的确定：一是取各分母所有系数的 ；二是取各分母所有字母因式的 的积．
　　3．分式的加减法法则表示为： ______； ________．
　　4．分式的乘除法法则表示为： _______； ________．
　　【典题解析】
　　例3　计算 的结果是________．
　　例4　计算 ．
　　例5　化简 ．
　　考点3：分式条件求值
　　【知识要点】
根据考点2的知识要点，先将分式进行化简，然后代入求值，这是最基本的解题方法． 但是具体问题要具体分析，许多题目若能采取解题技巧，如，整体代入法等，解法会更简明，且不容易出错．
【典题解析】
　　例6　先化简下列代数式，再求值： ，其 中（结果精确到0.01）．
　　原式 ．
　　当 时，原式 ．
　例7　先化简代数式： ，然后选取一个使原式有意义的 x的值代入求值．
　　原式 ．
　　当x=2时，原式 ．
　　说明：只要选择的数不等于±1即可．
　　考点4：可化为一元一次方程的分式方程
　　【知识要点】
解分式方程的一般步骤是：
①在方程的两边都乘_______，约去分母，化成_______；②解这个_______；③把解得的根代入_______，看结果是不是零，使________为零的根是原方的________,必须舍去．
　　【典题解析】
　　例8　解方程 ．
　　原方程变形 ．
　　方程两边都乘以x－3，得
　　2－x=（x－3）＋1．
　　解这个方程，得x=2．
　　检验：当x=2时，x－3=－1．所以x=2是原方程的解．
　　例9　某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格．
　　分析：利用 ，抓住“今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米”便可建立方程求解．
　　设该市去年居民用水的价格为x元/立方米，则今年用水价格为（1+25％）x元/立方米．根据题意，得 ．解这个方程，得x=1.8．经检验，x=1.8是原方程的解，则（1+25％）x=2.25（元/立方米）．
　　答：该市今年居民用水的价格为2.25元/立方米．