设|G|=33.证明:G必有3阶元素

设|G|=33.证明:G必有3阶元素

G任何元素的阶均整除33，只能是1,3,11,33
阶为1的仅有单位元
若G存在阶为33的元，即G为循环群G=。其中0(a)=33
那么b=a^11 (a的11次方）， 有b^3=a^33=e ,b明显不是单位元，b是其三阶元。
若G中不存在33阶元，也不存在3阶元，那么所有非单位元的阶均为11
取b属于G，o（b）=11 ,设H= ，再取c∈G-H，注意o(c)=11
设K=，那么H∩K={e}，HK为G的子群
且知33≥|G|≥|HK|=|H||K|/|H∩K|=11×11/1=121 矛盾
所以若G中不存在33阶元，则比存在3阶元。
证毕。