高三数学导数题解答

已知函数f(x)=(ax²+bx+c)﹒e^x 其中e为自然对数的底数

a﹑b﹑c为常数，若函数f(x)在x=-2处取得极值，且^lim_x→0（极限符号）﹝f(x)-c﹞/x=4

(1).求实数a﹑b

(2).若f(x)在【1，2】上单调递增，求a的范围

解：由f(x)=(ax² +bx+c)e^x →f'(x)=[ax² +(2a+b)x+b+c]e^x

    将x= -2代入上式得：b=c

    由^lim_x→0[f(x)-c]/x=4→b+c=4

    故：b=c=2

    当a≥0时，f(x)在[1，2]上必单调递增。

    当a＜0时，若f(x)在[1，2]上单调递增→-(2a+2)/2a≤2得：a≤-1/3

    故：a的取值范围是a≥0或a≤-1/3。

对f(x)求导，得到f'(x)=(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x

由题意，f(x)在x=2处取得极值，所以，f'(2)=0，所以（8a+3b+c）e^2=0

所以8a+3b+c=0    (1)

^lim_x→0﹝f(x)-c﹞/x=4，可以看出，分子分母都是趋向于0的，此时用洛比达法则，分子分母分别对x同时求导，得^lim_x→0﹝ax^2+2ax+bx+b+c﹞e^x=4，所以b+c=4    (2)

根据（1）（2）两式，可以得到4a+b+2=0