已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A.B是椭圆C的左右顶点,P是椭圆C上异于A.B的动点，

且三角形APB面积的最大值为2倍根号3.
1，求椭圆方程（x2/5+y2/4=1）
2.直线AP与直线x=2交予点D，证明，以BD为直径的圆与直线PF相切

其实这道题并不难，关键是你第一问的答案有误，正确答案应为 x^2/4+y^2/3=1.
相信你一定知道 “ 三角形APB面积最大时，点P是该椭圆与y轴的交点” （因为点A、B确定后，要在椭圆上找一点P，使得三角形APB面积最大，那么点P到线段AB的距离应为最大，那么此点应是该椭圆与y轴的交点）。
椭圆C的右焦点F的坐标为（1，0），c=1, c^2=a^2-b^2=1, (1/2)*2a*b=2倍根号下3， 解此二元方程组得： a^2=4, b^=3. 所以椭圆C的方程为 x^2/4+y^2/3=1.
通过作图，第二问并不难以证明，求出直径BD长，找出以BD为直径的圆的圆心坐标，解出直线PF的解析式，使用点到直线距离公式求出圆心到直线PF的距离，如果这个距离的2倍正好等于直径BD的长度，即可得证。
望采纳。

解答：（1）解：由题意可设椭圆c方程为： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0），则 因为右焦点为f（1，0），△apb面积的最大值为2 3 ， 所以 1 2 ?2a?b＝2 3 a2?b2＝1 ， 所以a=2，b= 3 ， 所以椭圆c的方程为 x2 4 + y2 3 ＝1．…（6分） （2）证明：由题意，设直线ap的方程为y=k（x+2）（k≠0）． 则点d坐标为（2，4k），bd中点e的坐标为（2，2k）． 由直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0． 设点p的坐标为（x0，y0），则-2x0= 16k2?12 3+4k2 ． 所以x0= 6?8k2 3+4k2 ，y0= 12k 3+4k2 ．…（10分） 因为点f坐标为（1，0）， 当k=± 1 2 时，点p的坐标为（1，± 3 2 ），点d的坐标为（2，±2）． 直线pf⊥x轴，此时以bd为直径的圆（x-2）2+（y-2k）2=1与直线pf相切．…（11分） 当k≠± 1 2 时，则直线pf的斜率 y0 x0?1 = 4k 1?4k2 ． 所以直线pf的方程为y= 4k 1?4k2 （x-1）． …（13分） 点e到直线pf的距离d= | 8k 1?4k2 ?2k? 4k 1?4k2 | 16k2 (1?4k2)2 +1 =2|k|．…（15分） 又因为|bd|=4|k|，所以d= 1 2 |bd|． 故以bd为直径的圆与直线pf相切． 综上得，以bd为直径的圆与直线pf相切． …（16分）