函数f(x)=x^2+ax+3
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解决时间 2021-02-08 03:30
- 提问者网友:我的未来我做主
- 2021-02-07 22:37
函数f(x)=x^2+ax+3 是否存在实数a,使关于x的不等式f(x)>=a在x属于[-2,2]上有解,若存在求出所有a的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友:思契十里
- 2021-02-07 23:03
因为 f(x) ≥ a 在区间[-2,2]上有解 等价于 f(x) - a ≥ 0 在区间 [-2,2]上有解
等价于 f(x) - a 在区间 [-2,2]上的最大值 ≥0 。
令 h(x) = f(x) -a ,
则 h(x) = x² + ax + (3-a),对称轴 为 x = -a/2 。
当 -a/2 ≤ 0 时, 即 a ≥ 0时,对称轴 x = -a 与 2 的距离最大, h(x)的最大值在x=2处取得,
最大值为h(2) = 7 +a ≥ 7,满足条件。
当 -a/2 > 0 时, 即 a < 0时,对称轴 x = -a 与 -2 的距离最大, h(x)的最大值在x=-2处取得,
最大值为h(-2) = 7 - 3a > 7, 满足条件。
所以对于任意的a∈R,都满足题意。
等价于 f(x) - a 在区间 [-2,2]上的最大值 ≥0 。
令 h(x) = f(x) -a ,
则 h(x) = x² + ax + (3-a),对称轴 为 x = -a/2 。
当 -a/2 ≤ 0 时, 即 a ≥ 0时,对称轴 x = -a 与 2 的距离最大, h(x)的最大值在x=2处取得,
最大值为h(2) = 7 +a ≥ 7,满足条件。
当 -a/2 > 0 时, 即 a < 0时,对称轴 x = -a 与 -2 的距离最大, h(x)的最大值在x=-2处取得,
最大值为h(-2) = 7 - 3a > 7, 满足条件。
所以对于任意的a∈R,都满足题意。
全部回答
- 1楼网友:患得患失的劫
- 2021-02-08 01:42
题目的意思是不等式f(x)-a>=0的解集与[-2,2}有交集,因为这是个存在性命题,不是恒成立,可以先把带参数的不等式的解集用字母表示,然后抓住根的大小分好类,最后用数轴看看怎样会有交集,临界条件是什么,最后综上即可
- 2楼网友:往事隔山水
- 2021-02-08 00:03
f(x)=x^2+ax+3=(x-a/2)^2+(12-a^2)/4,开口向上,对称轴x=-a/2
假设-a/2≥2即a≤-4,对称轴在区间[-2,2]右边,区间内单调减,只需f(2)≥a,4+2a+3≥a,a≥-7
∴-7≤a≤-4
假设-2≤-a/2≤2即-4≤a≤4,对称轴在区间内,只需极小值(12-a^2)/4≥a,a^2+4a-12≤0,(a+6)(a-2)≤0,-6≤a≤2
∴-4≤a≤2
假设-a/2≤-2即a≥4,对称轴在区间[-2,2]左边,区间内单调增,只需f(-2)≥a,4-2a+3≥a,a≤7/3
∴a不存在
综上:-7≤a≤2
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