求证：函数f(x)=ax(平方)+bx+c (a不等于零)是偶函数的充要条件是b=0「详细过程」解下！

求证：函数f(x)=ax(平方)+bx+c (a不等于零)是偶函数的充要条件是b=0「详细过程」解下！

充分性

b=0 f(x)=ax"+c

f(-x)=a(-x)"+c=ax"+c=f(x)所以f（x）是偶函数

必要性

f(-x)=ax"-bx+c=f(x)=ax"+bx+c

化简bx=0

由于对任意x都需有 bx=0

所以b=0

原命题得证

因为f(x)是偶函数，因此f(x)=f(-x)，a(x)2+bx+c=a(-x)2-bx+c，bx=-bx，所以b=0；

又因为b=0，f(x)=a(x)2+c，f(-x)=a(-x)2+c，f(x)=f(-x)。

所以b=0是函数f(x)=ax(平方)+bx+c (a不等于零)是偶函数的充要条件。

时隔多年有些忘记了，希望可以帮到你。

这道题要分别证明充分性和必要性

证明：当b=0时，F（x）=ax平方+c 是偶函数 所以a不等于0是必要条件

当b=0时 F（x）=ax平方+c F（-x）=ax平方+c= F（x） 所以b=0是原函数为偶函数的充分条件

因为函数是偶函数 所以f(x)=f(-x)

所以ax^2+bx+c=a(-x）^2+b(-x)+c

所以2bx=0

x是自变量，可以变化，所以只有b=o

f(x)=f(-x),带到原函数里一解就是xb=-xb，b就是0

充分性

f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)

ax^2+bx+c=ax^2-bx+c

2bx=0

x不恒为0

b=0

必要性

f(x)=ax^2+c

f(-x)=ax^2+c

又x∈R

是偶函数