设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：①函数f（x）的图象过点P（3，-6）；②函数f（x）在x1、x2处

设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：①函数f（x）的图象过点P（3，-6）；②函数f（x）在x1、x2处取得极值，且|x1-x2|=4；③函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．（1）求f（x）的表达式；（2）若α，β∈R，求证：|f(2cosα)?f(2sinβ)|≤643；（3）求过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的直线方程．

（1）∵y=f（x-1）关于（1，0）对称
∴y=f（x）关于（0，0）对称
∴函数y=f（x）为奇函数
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax3+cx
f′（x）=3ax2+c，令f′（x）=0得x＝±



?
c
3a
∴|x1?x2|＝2



?
c
3a ＝4
∴12a=-c①
又∵-6=27a+3c②
∴由①②解得a＝
2
3 ，c＝?8
∴f(x)＝
2
3 x3?8x…（5分）
（2）由f′（x）=2x2-8=0得x=±2
∴y=f（x）在[-2，2]上单调递减
∵-2≤2cosx≤2，-2≤2sinx≤2
∴|f(2cosα)?f(2sinβ)|≤f(?2)?f(2)＝
64
3 …（9分）
（3）∵f′（x）=2x2-8
设切点坐标为(x0，
2
3 x03?8x0)
∴切线方程为y?(
2
3 x03?8x0)＝(2x02?8)(x?x0)
∵切线过P（3，-6）
∴?6?(
2
3 x03?8x0)＝(2x02?8)(3?x0)
解之得x0＝3，x0＝?
3
2
∴过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的切线方程为：10x-y-36=0或7x+2y-9=0…（14分）

∵f（0）=0，∴d=0， ∴f（x）=ax3+bx2+cx=x（ax2+bx+c）， 又f（x1）=f（x2）=0，∴x1，x2是ax2+bx+c=0两根，且a≠0． 由韦达定理x1x2= c a ∵f′（x）=3ax2+2bx+c，f（x）在x=1，x=2时取得极值， ∴1×2= c 3a ， ∴x1x2= c a =6． 故答案为：6．