设点C为曲线y＝2x（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

（1）证明：点C(t，
2
t)（t＞0），
因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）．
于是圆C的方程是(x?t)2+(y?
2
t)2＝t2+
4
t2．则A(2t，0)，B(0，
4
t)．
由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，
于是多边形EACB为Rt△AEB，
其面积S＝
1
2|EA|?|EB|＝
1
2?2t?
4
t＝4．
所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．
（2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，kEC＝

2
t
t＝
2
t2，k_MN=-2．
所以由k_EC?k_MN=-1，得t=2，
所以圆C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．

试题解析：

（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；
（2）由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可．

名师点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．
考点点评： （1）重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上，故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；
（2）重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数．