求教一个高一数学题

设a为实数，函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R

(1)讨论f(x)的奇偶性

(2)求f(x)的最小值

谢谢！！

1

当f(x)为偶函数时，对任意的x，有f(x)=f(-x)

所以有：x²+|x-a|+1=(-x)²+|-x-a|+1

即：|x-a|=|x+a|

两边平方得：-2ax=2ax，从而有a=0

所以当a=0时，函数f(x)是偶函数。

当f(x)为奇函数时，对任意的x，有-f(x)=f(-x)

所以有：-(x²+|x-a|+1)=(-x)²+|-x-a|+1

即：2x²+|x-a|+|x-a|+2=0方程是一个一元二次方程，最多只有2解。

但是要对任意的x∈R都成立，所以不可能成立

因此综上知道：f(x)是偶函数，当且仅当a=0

2

当x>a时，f(x)=x²+x-a+1，配方后知道f(x)=(x+1/2)²+3/4-a

1)当a<=-1/2时，最小值为f(-1/2)：3/4-a

2)当a>-1/2时，最小值为f(a)：a²+1

当x<=a时，f(x)=x²-x+a+1，配方后知道f(x)=(x-1/2)²+3/4+a

1)当a<1/2时，最小值为f(a)：a²+1

2)当a>=1/2时，最小值为：f(1/2)：3/4+a

(1) f(x)=x2+|x-a|+1，f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x+a|+1,故仅当|x-a|=|x+a|,即a= 0时，f(x)=x2+|x|+1为偶函数(2)f(x)=x2+|x|+1=(|x|+1/2)2+3/4,因为|x|>=0>-1/2,f(x)min=f(0)=1

(1)

要判断f(x)的奇偶性，即判断f(-x)与f(x)的关系 f(-x)=(-x)^2+|-x-a|+1=x^2+|x+a|+1 若a=0，则f(-x)=x^2+|x|+1，则f(x)是偶函数 若a不=0，与f(x)=x^2+|x-a|+1没有符合奇偶函数特性 ∴f(x)是非奇非偶函数 （2） 若x>=a 则f(x)=x^2+x-a+1 =(x+1/2)^2-a+3/4 若a<=-1/2,则，f(x)在x=-1的情况下取到最小值-a+3/4， 若a>-1/2,则，f(x)在x=a的情况下取到最小值a^2+1 若x<a 则f(x)=x^2-(x-a)+1 =x^2-x+a+1 =(x-1/2)^2+a+3/4 若a>=1/2,则f(x)在x=1的情况下取到最小值a+3/4， 若a<-1/2,则f(x)在x=a的情况下取到最小值a^2+1