1/(2!)+1/(3!)+......+1/[(n+1)!]=?

1/(2!)+1/(3!)+......+1/[(n+1)!]=?
或证明他小于1......

高中生：利用放缩法。
主要是考虑到1/2+1/2^2+...+1/2^n+...=1（利用数列所有项求和公式s=a1/(1-q)）。
由此可以得到1/2+1/2^2+...+1/2^n<1。
现在关键是证明：1/(2!)+1/(3!)+......+1/[(n+1)!]<1/2+1/2^2+...+1/2^n<1。
很明显:1/(2!)=1/2; 1/(3!)<1/2^2；1/(4!)<1/2^3 ... 只要能证明当n>2时，所有的1/[(n+1)!]<1/2^n都成立，那么问题就OK了。（1/[(n+1)!]=1/[(n+1)*n*(n-1)*...*2]<1/[2*2*2*...*2]），所要证明结论1/(2!)+1/(3!)+......+1/[(n+1)!]<1就成立了！
大学生：1+1/1!+1/2!+1/3!+...=e<3

1/2!+1/3!+...=e-2<1

1/2!+1/3!+...+1/[(n+1)!]<1/2!+1/3!+...1/[(n+1)!]+...=e-2<1 (主要是利用e的展开级数！由泰勒定理可证！)
参考资料：
计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。

原式<1/2+1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5)+...+1/(n×(n+1))=1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5 + ... + 1/n - 1/(n+1)=1-1/(n+1)<1

所以得证

自然小于1

证明：

原式<1/(1*2)+1/(2*3)+......+1/(n*(n+1))=1-1/2+1/2-1/3+......+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)<1.

（使用分数拆项化简之）