怎么算lim x->0 (tan^-1 3x) / x?

如题

arctan 3x就是tan^-1 3x

方法1：

因为t→0时，sin t/t=tant/t=arcsint/t=arctant/t→1（严格论证要看高等数学书，在两个重要极限、等价无穷小、泰勒公式等部分都可以），所以x→0时，arctan3x/x=（arctan3x/3x）*（3x/x）→1*3=3（把3x看成t）.

方法2：

洛必达法则：如果函数f（x）和g（x）可导（设f（x）和g（x）导函数分别为f1(x)、g1(x)），且当x→a（a是某常数）时，f（x）和g（x）都同时趋于0或无穷，则x→a时， [f（x）/g（x）]→[f1(x)/g1(x)]

在这里，f（x）=arctan3x，g（x）=x，a=0，且x→0时f（x）和g（x）都同时趋于0；可以用洛必达法则，求导，f1(x)=3*[1/（1+ ）]，g1(x)=1，又x→0时[f1(x)/g1(x)]=3/（1+ ）→3,所以原极限为3（关于反正切函数求导涉及高等数学的反函数求导问题。如果想自己推请根据反函数图像与原函数图像关于y=x对称这一特点先退出一切函数反函数导数与原函数导数的关系，再利用这一关系去求反正切函数导数）。

解：

当x→0时，分子，分母都→0

则是0/0型的，

应用罗比达定理：对分子，分母求导数，极限值是不变的

lim(arctan3x/x)

=lim[3/(1+（3x）²]

当x→0时

(3x)²→0

则lim[3/(1+（3x）²]=3

则

lim(arctan3x/x)=3