从双曲线x^2-y^2=1上的一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段ON的中点P的轨迹方程.

从双曲线x^2-y^2=1上的一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段ON的中点P的轨迹方程.

设 Q 坐标 (x0,y0)x + y = 2 斜率为 -1所以 与其垂直的直线 ON 斜率为 1ON 方程为y - y0 = x - x0联立y-y0 = x- x0x + y = 2解出 N 点坐标x = 1 + (x0 -y0)/2y = 1 + (y0 -x0)/2所以 P 点坐标为x = [1 + (x0 -y0)/2 + x0]/2 = 1 + (3x0 -y0)/2y = 1 + (3y0 -x0)/2转化为3x0 -y0 = 2x -13y0 -x0 = 2y -1解出x0 = (3x + y -2)/4y0 = (3y + x -2)/4(x0,y0)满足双曲线方程,所以[(3x+y-2)/4]^2 - [(3y+x-2)/4]^2 = 1(3x+y-2)^2 - (3y+x-2)^2 = 16[(3x+y-2) + (3y+x-2)][(3x+y-2)-(3y+x-2)] = 164(x+y-1)* 2(x-y) = 16(x+y-1)(x-y) = 2x^2 - y^2 - x + y = 2(x -1/2)^2 - (y -1/2)^2 = 2此为双曲线方程,其特点为1）左右开口2）水平方向对称轴 x = 1/23) 垂直方向对称轴 y = 1/24) 左支顶点为 x=1/2 - √2,y=1/25）右支顶点为 x=1/2 + √2,y=1/2你所关心的 x的取值范围：x ≤1/2 - √2 和 x ≥ 1/2 + √2

这下我知道了