【代数基本定理】谁能给一个代数基本定理的代数证明呀?

【代数基本定理】谁能给一个代数基本定理的代数证明呀?

【答案】 首先你要知道Liouville定理.任何在整个复平面解析的复变函数都是有界的.
　　也就是,如果f(z)在整个复平面每个点都解析,又是有界的,则存在M such that
　　|f(z)| ≤ M,∀z ∈ C.
　　接下来设 p(z)=anz^n +an−1z^n−1···+a0 =0 ,其中pz是任何一个多项式,
　　设他没复根.也就是不存在z,使得p(z)=0.
　　则他的倒数是整个复平面解析的.
　　明显z无穷时 |1/p(z)|趋近于0.
　　因此 对于任何ε>0,都有R,使得 |1/p(z)| R.
　　又因为1/pz是连续的,因此对于这个R,存在一个正常数M,使得
　　|1/p(z)|≤M,∀ z:|z|≤R
　　因此|1/p(z)|≤ max{ε,M}.因此有界.根据Liouville,他是常数,但显然1/p(z)不是常数,矛盾.
　　因此他有复根.

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