如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D

如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．

（1）当PQ∥AD时，则∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP=QD，∵AP=CQ，AP=
1
2CD=
1
2×8=4，∴x=4．
（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y．∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，∴y=
4x-7
3．∵0≤y≤6，∴0≤
4x-7
3≤6，∴
7
4≤x≤
25
4．
（3）S_△BPE=
1
2?BE?BP=
1
2?
4x-7
3?（8-x）=
-4x2+39x-56
6，S_△ECQ=
1
2?CE?CQ=
1
2?（6-
4x-7
3）?x=
-4x2+25x
6，∵AP=CQ，∴S_BPQC=
1
2S矩形ABCD=24，∴S=S_BPQC-S_△BPE-S_△ECQ=24-
-4x2+39x-56
6-
-4x2+25x
6，整理得：S=
4x2-32x+100
3=
4
3（x-4）²+12（
7
4≤x≤
25
4），∴当x=4时，S有最小值12，当x=
7
4或x=
25
4时，S有最大值
75
4．∴12≤S≤
75
4．

试题解析：

（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP=CQ求x即可；
（2）连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，列出等式（8-x）²+y²=（6-y）²+x²然后根据函数的性质来求x的取值范围；
（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．

名师点评：

本题考点： 二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质．
考点点评： 解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．