已知向量 m=(sinA， 1 2 ) 与 n=(3， sinA+ 3 cosA) 共线，其中A是△A...

已知向量 m=(sinA，  
1
2 ) 与 n=(3，  sinA+


3 cosA) 共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

（1）因为



m ∥



n ，所以 sinA?(sinA+


3 cosA)-
3
2 =0 ；
所以
1-cos2A
2 +



3
2 sin2A-
3
2 =0 ，
即



3
2 sin2A-
1
2 cos2A=1 ，
即 sin(2A-
π
6 )=1 ．
因为A∈（0，π），所以 2A-
π
6 ∈(-
π
6 ，  
11π
6 ) ．
故 2A-
π
6 =
π
2 ， A=
π
3 ；
（2）由余弦定理，得4=b 2 +c 2 -bc．
又 S △ABC =
1
2 bcsinA=



3
4 bc ，
而b 2 +c 2 ≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）
所以 S △ABC =
1
2 bcsinA=



3
4 bc≤



3
4 ×4=


3 ；
当△ABC的面积取最大值时，b=c．又 A=
π
3 ；
故此时△ABC为等边三角形．

解:由题意可得 sina(sina+√3cosa)=3/2 (sina)^2+√3sinacosa=3/2 √3/2sin2a-cos2a/2=1 sin(2a-π/6)=1 因为a为三角形的内角 所以2a-π/6=π/2 所以a=π/3 由余弦定理可得 cosa=cos60=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2 所以b^2+c^2-bc=4 又因为b^2+c^2>=2bc 所以bc>=4 又s=bcsina/2=√3bc/4>=√3 所以三角形abc面积s的最大值√3 此时bc=4且b=c 所以b=c=2 所以该三角形为等边三角形