高二数学，圆锥曲线题目解答

过点（1,0）的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为 （根号2）/2 的椭圆C相交于A,B 两点，直线 y=（1/2）x  过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l 对称，求直线l 与椭圆的方程。

 

 

 注明过程，谢谢。

设过Q(1,0)的直线L为:y=k(x-1)=kx-k
∵椭圆C的焦点在x轴上，∴可设其标准方程为：x^/a^ + y^/b^=1
另外，设其右焦点为(c,0),且a>b>0,c>0，根据椭圆性质有：
a^-c^=b^     ①
又由于椭圆离心率为e=√2/2
∴c/a=√2/2  ②
由①，②可得到：
b=c,a=√2c
∴椭圆方程可化为：x^/2c^ + y^/c^=1

设椭圆C与直线L的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，根据中点坐标公式，可得AB中点M的坐标为((x1+x2)/2,(y2+y2)/2)

联立椭圆C与直线L的方程，消去y，可得到关于x的一元二次方程：
(2k^+1)x^-4k^x+(2k^-2c^)=0
由此可得：
x1+x2=4k^/(2k^+1)   ③
将P(x1,y1),Q(x2,y2)代入直线L的方程可得：
y1=kx1-k
y2=kx2-k
<=>y1+y2=k(x1+x2)-2k
将③代入，得：
y1+y2=-2k/(2k^+1)   ④
分别将③，④代入已设的PQ中点M的坐标，可得到：
M(2k^/(2k^+1),-k/(2k^+1))
∵M在直线y=x/2上
∴ k/(2k^+1)=(1/2)*(2k^)/(2k^+1)
<=>k=0或k=-1

若k=0，则直线L的方程为y=0，即x轴，必过与椭圆C的右焦点F(c,0)，不符合题目中“椭圆C上存在与F关于L对称的点”的条件，故k=0舍去；
由此可得到k=-1

于是，直线L的方程就为:y=-x+1

设椭圆C上关于L与F点对称的点为D(x3,y3)
根据对称的定义可知：线段DF被直线L垂直平分，则有：
DF⊥L
<=>kDF=-1/kL=-1/(-1)=1
结合F(c,0)，可得到直线DF的方程为：
y=x-c
联立DF与L的方程y=-x+1，可得出其交点的坐标N为：
N((c+1)/2 , (1-c)/2)
由刚才的结论：DF被L垂直平分，可知N为DF的中点，于是，联合N,F的坐标，根据中点坐标公式，可以得出D点坐标为:
D(2*(c+1)/2 - c , 2*(1-c)/2 - 0)
即D(1 , 1-c)
而D为椭圆C上的点，故将其代入椭圆C所设的标准方程：x^/2c^ + y^/c^=1：
1 / 2c^ + (1-c)^/c^ =1
<=>c=3/4
带回到原所设方程，可得到C的方程为：
x^/(9/8) + y^/(9/16)=1