1+1/4+1/9+1/16+...π²/6？是怎么推导出来的？

1+1/4+1/9+1/16+...π²/6？是怎么推导出来的？

傅里叶级数。
设f(x)=x²，x∈[-π,π]，把它扩展成周期为2π的周期函数。
即F(x)=(x-2kπ)²，x∈[2kπ-π,2kπ+π]，k=0,±1,±2,...。
F(x)是偶函数，所以可以展开为余弦级数，计算傅里叶系数：
a[0]=2π²/3, a[n]=(-1)^n*4/n²。
∴f(x)=a[0]/2+∑a[n]cos(nx)=π²/+∑(-1)^n*4/n²*cosnx,x∈[-π,π]。
f(x)在x=π处连续。
∴π²=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnπ。
2π²/3=4∑1/n²。
∑1/n²=2π²/(3×4)=π²/6。
扩展资料：
傅里叶级数的性质：
1、收敛性
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：
（1）在任何周期内，x(t)须绝对可积；
（2）在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
（3）在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
2、正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。
事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

傅里叶级数。 设f(x)=x²,x∈[-π,π],把它扩展成周期为2π的周期函数, 即F(x)=(x-2kπ)²,x∈[2kπ-π,2kπ+π],k=0,±1,±2,... F(x)是偶函数,所以可以展开为余弦级数,计算傅里叶系数: a[0]=2π²/3, a[n]=(-1)^n*4/n² ∴f(x)=a[0]/2+∑a[n]cos(nx)=π²/+∑(-1)^n*4/n²*cosnx,x∈[-π,π] f(x)在x=π处连续, ∴π²=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnπ 2π²/3=4∑1/n² ∑1/n²=2π²/(3×4)=π²/6

傅里叶级数

可以用傅里叶级数展开证明 函数f(x)=|x|在-π到π区间可以展开为f(x)=兀/2-(π/4)(cosx+1/9*cos^3x+1/25*cos^5x+……) x=0时，π^2/8=1+1/9+1/25+…… 设n1=1+1/9+1/25+……=π^2/8 n2=1/4+1/16+1/36+…… n=1+1/4+1/9+1/16+… 易知n2=n/4=(n1+n2)/4,则n2=n1/3=π^2/24 则n=n1+n2=π^2/6