用詹森不等式证明一个不等式成立

用詹森不等式证明一个不等式成立

当ai全相等时，n / (1/a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an) = (a1*a2*...*an)^(1/n) = (a1+a2+...+an) / n
当ai不全相等时，考虑f(x)=lnx,则f`(x)=1/x>0,f``(x)=-1/x^2<0 (x>0),则f(x)严格递增且严格上凸。
由严格上凸，则有杰森不等式：
f((x1+x2+...+xn)/n)>=(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
即ln（(x1+x2+...+xn)/n）>=(lnx1+...+lnxn)/n=ln（x1x2...xn）^(1/n)
又由f(x)严格递增知(x1+x2+...+xn)/n>（x1x2...xn）^(1/n)
综合知(x1+x2+...+xn)/n>=（x1x2...xn）^(1/n)
由ai>0,则1/ai>0
令xi=ai,则(a1*a2*...*an)^(1/n) <= (a1+a2+...+an) / n
令xi=1/ai,则(1/a1*1/a2*...*1/an)^(1/n) <= (1/a1+1/a2+...+1/an) / n
即n / (1/a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an) <= (a1*a2*...*an)^(1/n)
故n / (1/a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an) <= (a1*a2*...*an)^(1/n) <= (a1+a2+...+an) / n

构造一个函数f（x）=lnx
详见http://www.math.ecnu.edu.cn/jpkc/sxfx/kcja/zsx01a/zsx01a01/zsx01a012.htm