初二疑难问题

如图，ABC三点在同一直线上，分别以AB、BC为边且在直线同旁作△ABD和△CBE，且△ABD和△CBE为等边三角形，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN。求证：△BMN是等边三角形

    解：因为：△ABD和△EBC是等边三角形

    所以：AB＝BD    EB＝CB    ∠EBC＝∠DBA＝∠DBE＝60°

    那：∠EBA＝∠CBD

    即：△EBA≌△CBD﹙SAS﹚

    那：∠CDB＝∠EAB

    因为：∠EBD＝∠DBA＝60°   DB＝AB    ∠CDB＝∠EAB

    所以：△DBN≌△ABM﹙ASA﹚

    那：BM＝BN

    因为：∠DBN＝60°  BN＝BM

    所以：△MBN是等边三角形

设：AB=x,BC=y，且AB=AD=BD，BC=BE=CE

推出：BN=[y/(x+y)]·x，BM=[x/(x+y)]·y  即BN=BM

又因为△ABD和△CBE为等边三角形，推出∠MBN=60°。

所以△BMN是等边三角形。

在△BMN中，角MBN=60, 只要证明MB=BN就够了。

∵AB=DB, BE=BC,角ABE=角DBC

∴△ABE和△DBC全等

∴角BEM=角BCN

∴△BEM和△BCN全等

∴MB=BN,三角形BMN是等边三角形