求抽象函数问题

已知函数y=f(x)的定域义为R，且对任意a，b属于R，都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当X>0时，f(x)<o恒成立，1.求函数y=f（X）是R上的减函数。2.函数y=f(x)是奇函数.

x1>x2,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0

f（x）+f（-x）=f（0）=0

楼主您好:

1。由于：f(a+b)=f(a)+f(b)

则令a=b=0

则有：f(0+0)=f(0)+f(0)

则：f(0)=0

2。

由于：定义域为R

则令a=x,b=-x

则有；f(x-x)=f(x)+f(-x)

f(0)=f(x)+f(-x)

0=f(x)+f(-x)

f(-x)=-f(x)

则：f(x)是奇函数

3。

任取X1,x2属于R,且x1>x2

则：f(x1)-f(x2)

=f(x1)+f(-x2) (奇函数)

=f(x1-x2) (f(a)+f(b)=f(a+b))

由于：x1>x2

则；x1-x2>0

又：当x>0时，f(x)<0

则：f(x1-x2)<0

即：对任意x1>x2,且x1,x2属于R

恒有f(x1)<f(x2)

故：f(x)是减函数