证明题求定积分设函数F(X)在区间[a,b]上连续,单调增加,F(X)=1/(x-a)倍的{定积分f(t)dt,积分区间

证明题求定积分
设函数F(X)在区间[a,b]上连续,单调增加,F(X)=1/(x-a)倍的{定积分f(t)dt,积分区间a到x,X属于(a,b]}试证明F(X)在区间(a,b]上恒有F(X)的导数大于等于0

将题中函数F(X)在区间[a,b]上连续,单调增加,改为f(x)在区间[a,b]上连续,单调增加.
利用乘积的求导公式得
dF/dx=(-1/(x-a)^2)∫f(t)dt+1/(x-a)f(x)(积分区间a到x)
=f(x)/(x-a)-(1/(x-a)^2)∫f(t)dt
因为f(x)在区间[a,b]单调增加,故有对任意a≤t≤x,有f(a)≤f(t),
(x-a)f(a)=∫f(a)dt≤∫f(t)dt(积分区间a到x)
dF/dx=f(x)/(x-a)-(1/(x-a)^2)∫f(t)dt
≥f(x)/(x-a)-(1/(x-a)^2)*(x-a)f(a)=f(x)/(x-a)-f(a)/(x-a)
=(f(x)-f(a))/(x-a)≥0
即dF/dx≥0.