操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直

答案:1 悬赏:40 手机版

解决时间 2021-11-07 13:00

提问者网友：自食苦果
2021-11-07 01:10

最佳答案

五星知识达人网友：风格不统一
2021-11-07 01:45

分两种情况：
①如图（1），
∵∠BPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，
∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，
∴△BPC∽△PED．
如图（2），同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE．
②如图（1），∵△BPC∽△PED，
∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比，即PD与BC的比，
∵点P位于CD的中点，
∴PD与BC的比为1：2，
∴△PED与△BPC的周长比1：2，
△PED与△BPC的面积比1:4
如图（2），∵△BPC∽△BEP，
∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比，即BP与BC的比，
∵点P位于CD的中点，
设BC=2k，则PC=k，BP= k，
∴BP与BC的比为：2，
△BEP与△BPC的周长比为：2，△BEP与△BPC的面积比为5：4．
同理：△PCE∽△BPC，周长比1：2，面积比1：4．

由于本题直角三角形的摆放方法没有确定，因此要分两种情况进行讨论：
①直角三角形的斜边与AD相交；（如图1）
②直角三角形的斜边与BC边在同一条直线上（如图2）；解题思路一致．
以①为例说明：△DEP和△BCP中，∠DEP和∠BPC同为∠DPE的余角，因此这两角相等，易证得两三角形相似．当P为CD中点时，PD=CP，可根据相似三角形得出的比例关系式求出DE和BC的表达式，进一步可求得两三角形的相似比和面积比．

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